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CommonNoun’s diary

予習をする。原典にあたる。

距離空間の完備性について

数学

 距離空間が完備であるかどうかというのは位相不変ではありません。このことは、実数の空間は完備だが、それと同相である開区間は完備ではないことからわかります。また実数の空間の、すべての無理数からなる部分集合は完備ではありませんが、無理数の空間はある完備距離空間と同相です。一方有理数の空間はその位相を与えるどんな距離を入れても完備にはならないことが Baire の範疇定理から系として得られます。これらのことを考えると出てくるのが、位相空間距離空間はいつ完備距離空間と同相になるか、言い換えると同じ位相を与える完備な距離が存在するかという問題です。このような位相空間の性質を完備距離化可能と呼ぶことにしましょう。この記事ではそれについて考えます。短い記事です


 

 完備距離空間の開集合は完備距離化可能である.実際,完備距離空間 { \displaystyle X } の開集合 { \displaystyle U } について,実数値関数 { \displaystyle f(x)= \frac{1}{ d(x, X \setminus U) } } を考えるとこのグラフは { \displaystyle X \times \mathbb{R} } なる完備距離空間の閉部分集合で,{ \displaystyle U } に同相である.

 次に完備距離空間{ \displaystyle G_{ \delta } } 集合,すなわち開集合の可算個の交叉として書かれる部分集合は完備距離化可能である.実際開集合 { \displaystyle U_n } によって { \displaystyle G= \bigcap_{n=1}^{ \infty } U_n } と表すと,{ \displaystyle U_n } には完備な距離が入っているとして,そのすべての直積 { \displaystyle \prod_{n=1}^{ \infty } U_n }{ \displaystyle 2^{ -n } } を乗算し足し合わせて得られる距離によって完備になるが,{ \displaystyle G } は包含から誘導される写像によってこの空間の閉集合と同相になる.

 

 では完備距離空間{ \displaystyle G_{ \delta } } でない部分集合が完備距離化可能になることがあるだろうか,というと,ない.

命題. Hausdorff 空間の稠密部分集合は完備距離化可能ならば { \displaystyle G_{ \delta } } である.

 距離化可能空間の閉集合{ \displaystyle G_{ \delta } } であるということと合わせると距離空間の完備距離化可能な部分集合は { \displaystyle G_{ \delta } } となることがわかる.

 

証明. { \displaystyle f } を Hausdorff 空間 { \displaystyle X } の稠密部分集合 { \displaystyle Y } から完備距離空間 { \displaystyle Z } への同相写像とする.{ \displaystyle U_n:= \{ x \in X \mid \exists U \ni x \colon \mathrm{nbd} \ \mathrm{diam}(f(U \cap Y) )< \frac{1}{n} \} } とおく.

 { \displaystyle \bigcap U_n } の点 { \displaystyle x } に対して,各 { \displaystyle n } について { \displaystyle U_n } の定義が存在を主張する { \displaystyle U } を一つずつ選び,減少列になるようにする.その { \displaystyle Y } との交叉の { \displaystyle f } による像は完備距離空間の部分集合の直径が 0 に収束する減少列なのでたった 1 点からなる交叉を持つ.それを { \displaystyle f^{ \prime } (x) } として写像 { \displaystyle f^{ \prime } \colon \bigcap U_n \to Z } を定義する.well-defined な { \displaystyle f } の拡張であることは容易にわかる.また単射であることも Hausdorff 性から従う.

 { \displaystyle f^{ \prime } \circ f^{-1}(z) } は必ず { \displaystyle z } と一致する. { \displaystyle f^{-1} \circ f^{ \prime } (x) } も拡張になっていることと単射性から { \displaystyle x } と一致しなければならない.以上より { \displaystyle Y= \bigcap U_n } で,これは { \displaystyle G_{ \delta } } 集合である. //

 

 ところで Baire の範疇定理が完備距離空間においても局所コンパクト Hausdorff 空間においても成立するが,上の事実と Hausdorff 空間の稠密部分集合が局所コンパクトならばそれは開集合であるという事実を見ると,完備距離化可能空間と局所コンパクト空間を統合するような空間のクラスとして,次のようなものが考えられる.

定義. Hausdorff 空間は,Hausdorff 空間に稠密部分集合として埋め込まれるとき常にその中で { \displaystyle G_ { \delta } } であるとき,絶対 { \displaystyle G_{ \delta } } であるという.

 距離空間について,絶対 { \displaystyle G_{ \delta } } と完備距離化可能は同値である.実は絶対 { \displaystyle G_{ \delta } } 空間においても Baire の範疇定理は成り立つ.それについてはまた後日記事を書きたい.続く!