CommonNoun’s diary

予習をする。原典にあたる。

数学

五月祭に遊びに行った

1 年に 2 度の東大の学祭、そのうち春に本郷キャンパスで開かれる方の五月祭に遊びに行きました。だいたい常に数学科展示ますらぼにいました。

関数の連続点の集合について

Rudin "Real And Complex Analysis" 第 2 章演習問題 2 や宮島『関数解析』定理 2.28 の証明の前段などで出て来る命題とその一般化を考えてみました。あとインターネットで調べると逆についての言及があったのでその一般化も試みました。正直あまり自信がな…

距離空間の完備性について

距離空間が完備であるかどうかというのは位相不変ではありません。このことは、実数の空間は完備だが、それと同相である開区間は完備ではないことからわかります。また実数の空間の、すべての無理数からなる部分集合は完備ではありませんが、無理数の空間は…

不連続線型関数の話

なんか昨日この話題でブログが書かれていたので触発されて書くものです。今回はあまり定理を証明したりとかしません。

連結局所連結完備距離化可能空間は弧状連結である

弧状連結な空間は連結です。しかし連結な空間が弧状連結とは限りません(ex. トポロジストの正弦曲線)。では連結空間はいつ弧状連結となるでしょうか。その答えとしてよく知られたものに「局所弧状連結のとき」というのがあります。この記事ではそれに比べて…

パラコンパクト多様体の距離化可能性への旅

パラコンパクト Hausdorff な局所 Euclid 位相空間(位相多様体)が距離化可能であることを、いくつかの距離化定理を経由して示します。10 日くらい前の記事で証明した Moore の距離化定理を出発点とします。commonnoun.hatenadiary.jp

パラコンパクト性と Bing-Nagata-Smirnov の距離化定理

局所有限開基をもつ正則空間が距離化可能であることの証明をひとつ思いついたので、パラコンパクト Hausdorff 空間の特徴付けとともに書きます。長田によるオリジナルの証明を簡単にしたような感じ、であり新規性は特になかろうと思います。先日述べた Uryso…

A-U の距離化定理から Urysohn の距離化定理を導くこと

1923 年に距離化のための必要十分条件を与える Alexandroff-Urysohn の距離化定理、そして 1925 年に十分条件を与える Urysohn の距離化定理が世に出ました。言明を見ると、前者から後者はすぐには証明できそうにありません。かくして Urysohn の距離化定理…

Alexandroff-Urysohn の距離化定理

以前紹介した Urysohn の距離化定理は初等的な距離化定理として有名ですが、あれが最初の距離化定理というわけではありません。今回は最初の距離化定理といわれている定理の話をします。

Baire の範疇定理、そしてその(おそらく)最初の応用

2 年ちょい前くらいに、友人から「Dirichlet 関数(有理数全体の集合の特性関数)は連続関数の列の各点収束極限として書けるか?」と聞かれたことがありました。そのときはできるっぽいという結論が出たのですが、実はできません。「単位閉区間上の連続関数の…

2016 年の記録

・児玉-永見『位相空間論』8/29 ・児玉永見 [0,1] のコンパクト性の証明で一番大事なところを容易で済ませていてウケる ・児玉永見は Urysohn の補題のことを補題とは呼ばなくて、そうだよな大定理だもんなという感じだった 8/30 ・児玉永見 2 章からかなり…

Urysohn の距離化定理とその周辺 その 2

反例パートです。ご存知でしょうが反例とは何らかの(成り立ちそうな)主張に対し、その例の存在により主張が成り立たないことが示される例のことです。つまりヘンな位相空間/群/環/etc. とかヘンな写像とかそういうものです。 又聞きですが 20 世紀最大の数学…

Urysohn の距離化定理とその周辺 その 1

この記事は春のつどいと先日のクリスマスセミナーで話した内容を書き起したものの前半です。定理を証明します。後半では(反)例を挙げます。Urysohn はふつうドイツ式で「ウリゾーン」と読まれるようですが私はロシア式で「ウリソーン」と読んでいます。この…

2016 年クリスマスセミナー

2016 年 12 月 24-25 日にクリスマスセミナーを行ったのでそれについて記録します。 発端は 11 月 17 日にクリスマスにセミナーをやりたいという旨発言したら(ツイート削除済み)アルゴドゥー(alg_d)氏が乗ってきたことでした。同月 24 日にツイプラを立てた…