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CommonNoun’s diary

予習をする。原典にあたる。

連結局所連結完備距離化可能空間は弧状連結である

 弧状連結な空間は連結です。しかし連結な空間が弧状連結とは限りません(ex. トポロジストの正弦曲線)。では連結空間はいつ弧状連結となるでしょうか。その答えとしてよく知られたものに「局所弧状連結のとき」というのがあります。この記事ではそれに比べてあまり知られていないものを紹介します。


 まあ記事タイトルがその言明なのですが、以前この定理を半距離空間に拡張する論文を読んだのがこれを調べるきっかけでした。そこではこの定理は既知のものと扱われていたし一般化された定理の証明も詳細はこれの証明と同様とされていたので結局どう示すのか分からなかったのです。クラトフスキのトポロジー以外に参照できそうな文献がなくて、ついに読まないといけなくなったか〜〜と感じたものですが、調べてみたら自宅にある魔導書(気になった初等的なことが何でも書いてあるのでそう呼んでいる)に書いてありました。以下に出てくる「鎖」などの定義は標準的なものとは異なるようです。


 

定義. 距離空間 { \displaystyle X } において,連結開集合の有限列 { \displaystyle ( U_1, \dots U_n ) } を,({ \displaystyle i=1, \dots ,n } に対して { \displaystyle \mathrm{diam} U_i < \epsilon } かつ ){ \displaystyle i=1, \dots ,n-1 } に対して { \displaystyle U_i \cap U_{i+1} \neq \varnothing } のとき({ \displaystyle \epsilon })鎖と呼び,{ \displaystyle n } をこの鎖の長さと呼ぶ.

 鎖は { \displaystyle \lvert i-j \rvert >1 } のとき { \displaystyle \mathrm{Cl} U_i \cap \mathrm{Cl} U_j = \varnothing } のとき単純であるという.

 2 点 { \displaystyle a,b \in X } は単純({ \displaystyle \epsilon })鎖 { \displaystyle ( U_1, \dots ,U_n ) } によって { \displaystyle a \in U_1 \setminus \mathrm{Cl} U_2 } かつ { \displaystyle b \in U_n \setminus \mathrm{Cl} U_{n-1} } ({ \displaystyle n=1 } のときは { \displaystyle a,b \in U_1 } ということ)のとき,その単純({ \displaystyle \epsilon })鎖によって繋がれるといい,{ \displaystyle ( U_1, \dots ,U_n ) }{ \displaystyle a } から { \displaystyle b } への単純({ \displaystyle \epsilon })鎖という.

 { \displaystyle X } の開集合 { \displaystyle U,V } について,単純({ \displaystyle \epsilon })鎖 { \displaystyle ( U_1, \dots ,U_n ) } によって 
{ \displaystyle U \cap U_1 \neq \varnothing , \mathrm{Cl}U \cap \mathrm{Cl} ( U_2 \cup \dots \cup U_n ) = \varnothing }
{ \displaystyle V \cap U_n \neq \varnothing , \mathrm{Cl}V \cap \mathrm{Cl} ( U_1 \cup \dots \cup U_{n-1} )= \varnothing }
のとき { \displaystyle U }{ \displaystyle V } は単純({ \displaystyle \epsilon })鎖 { \displaystyle ( U_1, \dots ,U_n ) } によって繋がれるといい,{ \displaystyle ( U_1, \dots ,U_n ) }{ \displaystyle U } から { \displaystyle V } への単純({ \displaystyle \epsilon })鎖という.

補題. { \displaystyle X } を連結局所連結距離空間とする.このとき 
 (1) 相異なる 2 つの点は,任意の { \displaystyle \epsilon >0 } について,単純 { \displaystyle \epsilon } 鎖によって繋がれる. 
 (2) { \displaystyle X } の開集合 { \displaystyle U,V }{ \displaystyle \mathrm{Cl} U \cap \mathrm{Cl} V= \varnothing } なるものは,任意の { \displaystyle \epsilon >0 } について,単純 { \displaystyle \epsilon } 鎖によって繋がれる. 
 (3) { \displaystyle X } の開集合 { \displaystyle U,V }{ \displaystyle d(U,V)>0 } なるものは,任意の { \displaystyle n \in \mathbb{Z}_+ } について,長さ { \displaystyle n } の単純鎖によって繋がれる.

証明. (1) { \displaystyle a,b \in X } を相異なる 2 点,{ \displaystyle \epsilon >0 } とし,{ \displaystyle W } を次の条件を満たすすべての { \displaystyle x \in X } の集合とする:
 ・{ \displaystyle a }{ \displaystyle x } は単純 { \displaystyle \epsilon } 鎖によって繋がれる,または { \displaystyle x=a } である.

 このとき,{ \displaystyle W }{ \displaystyle X } において開である.また { \displaystyle W } に属さない点の { \displaystyle \frac{ \epsilon }{2} } 近傍に含まれる連結開近傍の点はすべて { \displaystyle W } に属さない*1ので閉でもある.{ \displaystyle X } の連結性より { \displaystyle W=X },よって { \displaystyle b \in W } を得る.

 

 (2) { \displaystyle a \in U }{ \displaystyle b \in V } をとって (1) を適用すると,{ \displaystyle a } から { \displaystyle b } への単純 { \displaystyle \epsilon }{ \displaystyle ( W_1, \dots ,W_m ) } を得る. 
 { \displaystyle k_0 = \max \{ i \mid \mathrm{Cl} W_i \cap \mathrm{Cl} U \neq \varnothing \} }
 { \displaystyle k_1 = \min \{ i \ge k_0 \mid \mathrm{Cl} W_i \cap \mathrm{Cl} V \neq \varnothing \} }
とする.

 { \displaystyle W_{k_0} \cap U \neq \varnothing },{ \displaystyle W_{k_1} \cap V \neq \varnothing } のとき { \displaystyle W_{k_0}, \dots ,W_{k_1} }{ \displaystyle U } から { \displaystyle V } への単純 { \displaystyle \epsilon } 鎖である.そうでないときも閉包の交わりから任意に 1 点をとってしかるべき近傍をとれば求める鎖が得られる.

 

 (3) { \displaystyle n \in \mathbb{Z}_+ } とする.{ \displaystyle \epsilon = n^{-1} d(U,V)>0 } とする.(2) より { \displaystyle U } から { \displaystyle V } への単純 { \displaystyle \epsilon }{ \displaystyle ( W_1, \dots ,W_k ) } を得る.このとき { \displaystyle d(U,V) \le \mathrm{diam} W_1 + \dots + \mathrm{diam} W_k < k \epsilon = n^ {-1} k \ \mathrm{dist} (U,V) } なので { \displaystyle n < k } である.従って,{ \displaystyle U,V } は長さ { \displaystyle n } の単純鎖 { \displaystyle ( W_1, \dots , \bigcup_{i=n}^k W_i ) } により繋がれる. //

 

定理. 連結局所連結完備距離化可能空間は弧状連結である.形式的にはより強く,任意の 2 点に対しそれぞれを端点の像とする単位閉区間の埋め込みが存在する.

証明. { \displaystyle a,b } を異なる 2 点とする.{ \displaystyle i \in \mathbb{Z}_+ } についての帰納法によって,正整数 { \displaystyle n(i) }{ \displaystyle a } から { \displaystyle b } への単純 { \displaystyle 2^{-i} } 鎖であって 
 (1) { \displaystyle n(1) < n(2) < \dots }
 (2) { \displaystyle 2^{ n( i+1 )-n( i ) } j \le k < 2^{ n( i+1 )-n( i ) } (j+1) } について { \displaystyle U_k ^{i+1} \subset U_j ^i }
 であるようなものを構成しよう.

 { \displaystyle X } は局所連結であるから,{ \displaystyle a,b } はそれぞれ連結開近傍 { \displaystyle U, V} であって,{ \displaystyle \mathrm{diam}U, \mathrm{diam}V < 2^{-1} },{ \displaystyle \mathrm{Cl}U \cap \mathrm{Cl}V = \varnothing } となるようなものを持つ.補題の (2) を使うと,{ \displaystyle n(1) \ge 2 }{ \displaystyle X } における { \displaystyle U } から { \displaystyle V } への単純 { \displaystyle 2^{-1} }{ \displaystyle ( U_1^1, \dots ,U_{ 2^{ n(1) } -2 }^1 ) } を得る.{ \displaystyle U_0^1=U, U_{ 2^{ n(1) } -1 }^1=V } とおくことで { \displaystyle a } から { \displaystyle b } への単純 { \displaystyle 2^{-1} }{ \displaystyle ( U_0^1, \dots ,U_{ 2^{ n(1) } -1 }^1 ) } を得る.

 

 次に,{ \displaystyle a } から { \displaystyle b } への単純 { \displaystyle 2^{-i} }{ \displaystyle ( U_0 ^i , \dots ,U_{ 2^{ n(1) } -1 } ^i ) } が得られたと仮定する.{ \displaystyle U }{ \displaystyle V } をそれぞれ { \displaystyle \mathrm{Cl} U \subset U_0 ^i },{ \displaystyle \mathrm{Cl} V \subset U_{ 2^{ n(i) } -1 } ^i } となるような { \displaystyle a,b }{ \displaystyle X } における連結開近傍とする.各 { \displaystyle U_j ^i } は連結局所連結であるから,補題の (2) を帰納的に用いて,各 { \displaystyle j } について { \displaystyle U_j ^i } における { \displaystyle U_j ^i \cap V_{ k(j-1) } } から { \displaystyle U_j ^i \cap U_{j+1} ^i } への単純 { \displaystyle 2^{ -(i+1) } }{ \displaystyle ( V_0 ^j , \dots , V_{ k(j) } ^j ) } を得る.ただし { \displaystyle V_{ k(-1) } ^{-1} =U, U_{ 2^{ n(i) } } ^i =V } とする.

 { \displaystyle 2^{ n(i+1) -n(i) } > \max \{ k(j) \mid j=0,1, \dots ,2^{ n(i) } -1 \} } であるように { \displaystyle n(i+1) } を選ぶ.各 { \displaystyle j=0,1, \dots ,2^{ n(i) } -1 } について,{ \displaystyle m(j)= 2^{ n(i+1) -n(i) } -k(j)-1 } とする.補題 (3) より { \displaystyle V_{ k(j) } ^j } における { \displaystyle V_{ k(j) } ^j \cap V_{ k(j) -1 } ^j } から { \displaystyle V_{ k(j) } ^j \cap V_1 ^{ j+1 } } への長さ { \displaystyle m(j) } の単純鎖を得る.以上で得たものを並べると望まれた単純 { \displaystyle 2^{ -(i+1) } } 鎖となる.

 

 各 { \displaystyle x \in 2^{ \mathbb{Z} _+ } = \{ 0,1 \} ^{ \mathbb{Z} _+ } } について,
{ \displaystyle \sum_{j=1} ^{n(i)} 2^{ n(i) -j } x(j) = 2^{ n(i) -n(i-1) } \sum_{j=1} ^{ n(i-1) } 2^{ n(i-1) -j } x(j) + \sum_{ j=n(i-1)+1 }^{ n(i) } 2^{ n(i) -j } x(j) }
 ここで { \displaystyle 0 \le \sum_{ j = n(i-1)+1 } ^{ n(i) } 2^{ n(i-1) -j } x(j) < 2^{ n(i)-n(i-1) } },である.よって (2) から
{ \displaystyle U_{ \sum_{ j=1 } ^{ n(i) } 2^{ n(i)-j } x(j) } ^i  \subset U_{ \sum_{ j=1 } ^{ n(i-1) } 2^{ n(i-1)-j } x(j) } ^{ i-1 } }
が従う.

 (1) と { \displaystyle X } の完備性から,次は一元集合である:
 { \displaystyle \bigcap_{ i \in \mathbb{Z}_+ } \mathrm{Cl} U_{ \sum_{ j=1 } ^{ n(i) } 2^{ n(i)-j } x(j) } ^i } *2
 その元を x の値として写像 { \displaystyle f \colon 2^{ \mathbb{Z}_+ } \to X } を作ると { \displaystyle f(0)=a },{ \displaystyle f(1)=b } である.{ \displaystyle x,y \in 2^{ \mathbb{Z}_+ } } について,{ \displaystyle j< 2^{ n(i) } } について { \displaystyle x(j)=y(j) } とすると,
 { \displaystyle f(x), f(y) \in U_{ \sum_{ j=1 } ^{ n(i) } 2^{ n(i)-j } x(j) } ^i = U_{ \sum_{ j=1 } ^{ n(i) } 2^{ n(i)-j } y(j) } ^i }
 従って { \displaystyle d( f(x), f(y) )< 2^{ -i } } で,これは { \displaystyle f } が連続であることを意味する.

 { \displaystyle \phi \colon 2^{ \mathbb{Z}_+ } \to I }{ \displaystyle \phi (x) = \sum_{i=1} ^{ \infty } 2^{ -i } x(i) } により定まる商写像とする.*3{ \displaystyle x,y \in 2^{ \mathbb{Z}_+ } } について,{ \displaystyle f(x)=f(y) } のときに限り { \displaystyle \phi (x) = \phi (y) } であることを示せば { \displaystyle f }{ \displaystyle a,b } を端点での値とするような単位閉区間からの連続単射,すなわち埋め込みを誘導することになる.

 

 まず,{ \displaystyle \phi (x)= \phi (y) },すなわち { \displaystyle \sum_{i=1} ^{ \infty } 2^{ -i } x(i)= \sum_{i=1} ^{ \infty } 2^{ -i } y(i) } を仮定する.{ \displaystyle x \neq y } の場合,{ \displaystyle k= \min \{ i \in \mathbb{Z}_+ \mid x(i) \neq y(i) \} } とし,{ \displaystyle x(k)=1, y(k)=0 } とする.すべての { \displaystyle i>k } について { \displaystyle x(i)=0, y(i)=1 } である.かくして,
{ \displaystyle \sum_{ i=1 } ^{ k-1 } 2^{ k-1-j } x(j)= \sum_{ i=1 } ^{ k-1 } 2^{ k-1-j } y(j) } かつ
{ \displaystyle \sum_{i=1} ^m 2^{ m-j } x(j) = \sum_{ i=1 } ^m 2^{ m-j } y(j) +1 ( m \ge k ) }
 を得る.

 このとき,すべての { \displaystyle i \in \mathbb{Z}_+ } について { \displaystyle U_{ \sum_{ j=1 } ^{ n(i) } 2^{ n(i)-j } x(j) } ^i \cap U_{ \sum_{ j=1 } ^{ n(i) } 2^{ n(i)-j } y(j) } ^i = \varnothing } であることが従い,これは { \displaystyle d( f(x), f(y) )=0 } を意味し,よって { \displaystyle f(x)=f(y) } となる.

 

 逆に,{ \displaystyle f(x)=f(y) } とする.すべての { \displaystyle i \in \mathbb{Z}_+ } に対して,
 { \displaystyle U_{ \sum_{ j=1 } ^{ n(i) } 2^{ n(i)-j } x(j) } ^i \cap U_{ \sum_{ j=1 } ^{ n(i) } 2^{ n(i)-j } y(j) } ^i = \varnothing }
で,これは { \displaystyle \lvert \sum_{ j=1 } ^{ n(i) } 2^{ n(i)-j } x(j) - \sum_{ j=1 } ^{ n(i) } 2^{ n(i)-j } y(j) \rvert \le 1 } を意味する.従って,
 { \displaystyle \lvert \phi (x) - \phi (y) \rvert \\
 = \lim_{ i \to \infty } \lvert \sum_{ j=1 } ^{ n(i) } 2^{ -j } x(j) - \sum_{ j=1 } ^{ n(i) } 2^{ -j } y(j) \rvert \\
\le \lim_{ i \to \infty } 2^{ -n(i) } =0 }
すなわち,{ \displaystyle \phi (x) = \phi (y) } である.かくして,埋め込みの存在が示された. //

 

続く!

*1:ちゃんと示すのは少し面倒

*2:Baire の範疇定理の証明を思い出そう

*3:3 進集合を構成するとき落としていく開区間についてその端と端を同一視する写像というのと同じ