CommonNoun’s diary

予習をする。原典にあたる。

単調収束定理の証明

 単調収束定理の証明はすべての測度論の教科書に載っています。しかし場合分けを繰り返したり離れた場所に書いた補題をいくつも援用したりしない、わかりやすく参照しやすい証明となると実は日本語の教科書にはあまり見られません。そこで記事を書くことにしました。概ね Rudin "Real and Complex Analysis" の一部の訳です。

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関数の連続点の集合について

 Rudin "Real And Complex Analysis" 第 2 章演習問題 2 や宮島『関数解析』定理 2.28 の証明の前段などで出て来る命題とその一般化を考えてみました。あとインターネットで調べると逆についての言及があったのでその一般化も試みました。正直あまり自信がないので論理の飛躍や反例があれば教えてください

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距離空間の完備性について

 距離空間が完備であるかどうかというのは位相不変ではありません。このことは、実数の空間は完備だが、それと同相である開区間は完備ではないことからわかります。また実数の空間の、すべての無理数からなる部分集合は完備ではありませんが、無理数の空間はある完備距離空間と同相です。一方有理数の空間はその位相を与えるどんな距離を入れても完備にはならないことが Baire の範疇定理から系として得られます。これらのことを考えると出てくるのが、位相空間距離空間はいつ完備距離空間と同相になるか、言い換えると同じ位相を与える完備な距離が存在するかという問題です。このような位相空間の性質を完備距離化可能と呼ぶことにしましょう。この記事ではそれについて考えます。短い記事です

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誕生日プレゼントをください その 4

 いつものやつです。

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 4 人から合計 13 品のギフトを頂いております。本当にありがとうございます。

 

 今回はリストに新しく載せたものだけでなく既に紹介したものも改めて紹介します。どれも買ってもらえるとうれしいやつです。

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誕生日プレゼントをください その 3

 2 週間後の 2 月 24 日は私の誕生日です。プレゼントをください。下は前回の記事です。

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 すでに 3 人から 9 品のギフトを頂いています。本当にありがとうございます! ほしいものリストからよく考えたらそんなにいらないものなどを除いてその分ほしいものを追加しました。今回はその品を紹介していきます。

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